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 2022-06-13, 18:25 #419 sweety439     "99(4^34019)99 palind" Nov 2016 (P^81993)SZ base 36 3,449 Posts Nexus primes (primes of the form (a^n-b^n)/(a-b), with a > 1, -a < b < a, gcd(a,b) = 1) are generalized repunit primes to rational base a/b (a/b is any (positive or negative) rational number with absolute value > 1, the special case is b = 1, in this case a/b is (positive or negative) integer), since they are 1+(a/b)+(a/b)^2+(a/b)^3+...+(a/b)^(n-1), when the number is negative, take its absolute value, when the number is not integer, take its numerator, (a^n-b^n)/(a-b) has algebraic factorization if a/b is perfect power of rational number, or a/b is of the form -4*m^4 with rational m, for the list of nexus primes, see https://sites.google.com/view/nexus-primes/, also see https://en.wikipedia.org/wiki/Mersen...ersenne_primes, http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/GenRepu.txt (b=1), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/GenRepuP.txt (b=-1), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPot.txt (b=a-1), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPotP.txt (b=-(a-1)), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPot2.txt (b=a-2 and b=-(a-2)), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPotD.txt Nexus-Fermat primes (primes of the form (a^(2^n)+b^(2^n))/gcd(a+b,2), with a > 1, 0 < b < a, gcd(a,b) = 1) are generalized Fermat primes to rational base a/b (a/b is any positive rational number with absolute value > 1, the special case is b = 1, in this case a/b is positive integer) (when b is negative, the result number is the same as the positive number -b, thus we only need to consider b > 0), a^(2^n)+b^(2^n))/gcd(a+b,2) has algebraic factorization if a/b is perfect odd power of rational number, see http://www.prothsearch.com/GFNfacs.html, http://jeppesn.dk/generalized-fermat.html (a is even, b = 1), http://www.noprimeleftbehind.net/crus/GFN-primes.htm (a is even, b = 1), http://yves.gallot.pagesperso-orange...s/results.html, http://www.fermatquotient. (a is even, b = 1)com/PrimSerien/GenFermOdd.txt (a is odd, b = 1), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPotP.txt (b = a-1), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPot2.txt (b = a-2), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPotD.txt The number Phi(n,a,b) = b^eulerphi(n)*Phi(n,a/b) (with with a > 1, 0 < b < a, gcd(a,b) = 1) (where Phi is the cyclotomic polynomial) is prime (when b is negative, the result number is the same as the positive number -b with n' = (2*n if n is odd, n/2 if n == 2 mod 4, n if n is divisible by 4), thus we only need to consider b > 0) (the case when n is prime is the nexus primes with positive b, the case when n is twice an odd prime is the nexus primes with negative b, the case when n is power of 2 is nexus-Fermat primes), Phi(n,a,b) has algebraic factorization if a and b are both r-th powers for an r not dividing n or if n is odd multiple of r*A007913(a*b) (the Aurifeuillian factorization, r = 1 if A007913(a*b) == 1 mod 4, otherwise r = 2), see https://raw.githubusercontent.com/xa...is%20prime.txt (smallest a such that Phi(n,a,b) is prime), https://raw.githubusercontent.com/xa...is%20prime.txt (n such that Phi(n,a,b) is prime for fixed (a,b) pair), https://oeis.org/A085398 (b = 1), https://oeis.org/A250201 (b = n-1), also the Zsigmondy number Zs(n,a,b) = Phi(n,a,b)/gcd(Phi(n,a,b),n) if n != 2, or Zs(n,a,b) = A000265(a+b) if n = 2, for such primes see https://raw.githubusercontent.com/xa...n%2Ca%2Cb).txt The form (a*b^n+c)/gcd(k+c,b-1) (with a >= 1, b >= 2, c != 0, gcd(a,c) = 1, gcd(b,c) = 1) is the Proth form (k*b^n+1)/gcd(numerator(k+1),b-1) with rational k = a/c, a/c is any (positive or negative) rational number (the absolute value can be either > 1 or < 1 or = 1), when the number is negative, take its absolute value, when the number is not integer, take its numerator special cases: (if gcd(k+c,b-1) = 1) (this is always true if b = 2, in this case the forms are a*2^n+1, a*2^n-1, 2^n+c, 2^n-c, respectively) * k is positive integer, k = a, the form is a*b^n+1 (Proth form) * k is negative integer, k = -a, the form is a*b^n-1 (Riesel form) * k is positive unit fraction, k = 1/c, the form is b^n+c (dual Proth form) * k is negative unit fraction, k = -1/c, the form is b^n-c (dual Riesel form) When n take negative value, the result of k = a/c with -n is the same as the result of k = c/a with +n, and thus the numbers a/c and c/a (they are multiplicative inverse) are dual forms, and they have the same Nash weight k*2^n+1 has a covering set if k == 78557 mod 140100870, this is true for all rational k == 78557 mod 140100870 (consider the number "divide a by c" in the ring Z_140100870, c must be coprime to 140100870) k*b^n+1 has algebraic factorization when k and b are both r-th powers of rational numbers, for an odd r > 1, or when -k (k must be negative) and b are both squares of rational numbers or when k = 4*m^4 with rational m, and b is 4-th power of rational number Last fiddled with by sweety439 on 2022-06-13 at 19:11
 2022-06-13, 18:39 #420 sweety439     "99(4^34019)99 palind" Nov 2016 (P^81993)SZ base 36 65718 Posts Smallest n>=1 such that the form (according to post #419) is prime: k=1: Code: 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,4 8,not exist 9,1 10,1 11,2 12,1 13,1 14,2 15,2 16,1 17,4 18,1 19,2 20,2 21,1 22,1 23,4 24,2 25,1 26,2 27,not exist 28,1 29,2 30,1 k=-1: Code: 2,2 3,3 4,2 5,3 6,2 7,5 8,3 9,not exist 10,2 11,17 12,2 13,5 14,3 15,3 16,2 17,3 18,2 19,19 20,3 21,3 22,2 23,5 24,3 25,not exist 26,7 27,3 28,2 29,5 30,2 31,7 32,not exist 33,3 34,13 35,313 36,2 37,13 38,3 39,349 40,2 41,3 42,2 43,5 44,5 45,19 46,2 47,127 48,19 49,not exist 50,3 k=2: Code: 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 7,1 8,1 9,1 10,1 11,1 12,3 13,2 14,1 15,1 16,1 17,47 18,1 19,1 20,1 21,1 22,6 23,1 24,2 25,1 26,1 27,2 28,1 29,1 30,1 31,2 32,3 33,1 34,1 35,1 36,1 37,3 38,2729 39,1 40,3 41,1 42,2 43,1 44,1 45,2 46,1 47,175 48,1 49,2 50,1 51,1 52,3 53,1 54,1 55,1 56,1 57,3 58,2 59,3 60,3 61,1 62,43 63,1 64,1 65,1 66,2 67,6 68,1 69,1 70,1 71,3 72,2 73,4 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¬ ∨ ∧ ⊕ → ← ⇒ ⇐ ⇔ ∀ ∃ ∄ ∴ ∵ ⊤ ⊥ ⊢ ⊨ ⫤ ⊣ … ⋯ ⋮ ⋰ ⋱
∫ ∬ ∭ ∮ ∯ ∰ ∇ ∆ δ ∂ ℱ ℒ ℓ
𝛢𝛼 𝛣𝛽 𝛤𝛾 𝛥𝛿 𝛦𝜀𝜖 𝛧𝜁 𝛨𝜂 𝛩𝜃𝜗 𝛪𝜄 𝛫𝜅 𝛬𝜆 𝛭𝜇 𝛮𝜈 𝛯𝜉 𝛰𝜊 𝛱𝜋 𝛲𝜌 𝛴𝜎𝜍 𝛵𝜏 𝛶𝜐 𝛷𝜙𝜑 𝛸𝜒 𝛹𝜓 𝛺𝜔