xddd

[sweety439]

Nexus primes (primes of the form (a^n-b^n)/(a-b), with a > 1, -a < b < a, gcd(a,b) = 1) are generalized repunit primes to rational base a/b (a/b is any (positive or negative) rational number with absolute value > 1, the special case is b = 1, in this case a/b is (positive or negative) integer), since they are 1+(a/b)+(a/b)^2+(a/b)^3+...+(a/b)^(n-1), when the number is negative, take its absolute value, when the number is not integer, take its numerator, (a^n-b^n)/(a-b) has algebraic factorization if a/b is perfect power of rational number, or a/b is of the form -4*m^4 with rational m, for the list of nexus primes, see https://sites.google.com/view/nexus-primes/, also see https://en.wikipedia.org/wiki/Mersen...ersenne_primes, http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/GenRepu.txt (b=1), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/GenRepuP.txt (b=-1), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPot.txt (b=a-1), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPotP.txt (b=-(a-1)), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPot2.txt (b=a-2 and b=-(a-2)), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPotD.txt

Nexus-Fermat primes (primes of the form (a^(2^n)+b^(2^n))/gcd(a+b,2), with a > 1, 0 < b < a, gcd(a,b) = 1) are generalized Fermat primes to rational base a/b (a/b is any positive rational number with absolute value > 1, the special case is b = 1, in this case a/b is positive integer) (when b is negative, the result number is the same as the positive number -b, thus we only need to consider b > 0), a^(2^n)+b^(2^n))/gcd(a+b,2) has algebraic factorization if a/b is perfect odd power of rational number, see http://www.prothsearch.com/GFNfacs.html, http://jeppesn.dk/generalized-fermat.html (a is even, b = 1), http://www.noprimeleftbehind.net/crus/GFN-primes.htm (a is even, b = 1), http://yves.gallot.pagesperso-orange...s/results.html, http://www.fermatquotient. (a is even, b = 1)com/PrimSerien/GenFermOdd.txt (a is odd, b = 1), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPotP.txt (b = a-1), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPot2.txt (b = a-2), http://www.fermatquotient.com/PrimSerien/PrimPotD.txt

The number Phi(n,a,b) = b^eulerphi(n)*Phi(n,a/b) (with with a > 1, 0 < b < a, gcd(a,b) = 1) (where Phi is the cyclotomic polynomial) is prime (when b is negative, the result number is the same as the positive number -b with n' = (2*n if n is odd, n/2 if n == 2 mod 4, n if n is divisible by 4), thus we only need to consider b > 0) (the case when n is prime is the nexus primes with positive b, the case when n is twice an odd prime is the nexus primes with negative b, the case when n is power of 2 is nexus-Fermat primes), Phi(n,a,b) has algebraic factorization if a and b are both r-th powers for an r not dividing n or if n is odd multiple of r*A007913(a*b) (the Aurifeuillian factorization, r = 1 if A007913(a*b) == 1 mod 4, otherwise r = 2), see https://raw.githubusercontent.com/xa...is%20prime.txt (smallest a such that Phi(n,a,b) is prime), https://raw.githubusercontent.com/xa...is%20prime.txt (n such that Phi(n,a,b) is prime for fixed (a,b) pair), https://oeis.org/A085398 (b = 1), https://oeis.org/A250201 (b = n-1), also the Zsigmondy number Zs(n,a,b) = Phi(n,a,b)/gcd(Phi(n,a,b),n) if n != 2, or Zs(n,a,b) = A000265(a+b) if n = 2, for such primes see https://raw.githubusercontent.com/xa...n%2Ca%2Cb).txt

The form (a*b^n+c)/gcd(k+c,b-1) (with a >= 1, b >= 2, c != 0, gcd(a,c) = 1, gcd(b,c) = 1) is the Proth form (k*b^n+1)/gcd(numerator(k+1),b-1) with rational k = a/c, a/c is any (positive or negative) rational number (the absolute value can be either > 1 or < 1 or = 1), when the number is negative, take its absolute value, when the number is not integer, take its numerator

special cases: (if gcd(k+c,b-1) = 1) (this is always true if b = 2, in this case the forms are a*2^n+1, a*2^n-1, 2^n+c, 2^n-c, respectively)

* k is positive integer, k = a, the form is a*b^n+1 (Proth form)
* k is negative integer, k = -a, the form is a*b^n-1 (Riesel form)
* k is positive unit fraction, k = 1/c, the form is b^n+c (dual Proth form)
* k is negative unit fraction, k = -1/c, the form is b^n-c (dual Riesel form)

When n take negative value, the result of k = a/c with -n is the same as the result of k = c/a with +n, and thus the numbers a/c and c/a (they are multiplicative inverse) are dual forms, and they have the same Nash weight

k*2^n+1 has a covering set if k == 78557 mod 140100870, this is true for all rational k == 78557 mod 140100870 (consider the number "divide a by c" in the ring Z_140100870, c must be coprime to 140100870)

k*b^n+1 has algebraic factorization when k and b are both r-th powers of rational numbers, for an odd r > 1, or when -k (k must be negative) and b are both squares of rational numbers or when k = 4*m^4 with rational m, and b is 4-th power of rational number

[sweety439]

Smallest n>=1 such that the form (according to post #419) is prime:

k=1:

2,1
3,1
4,1
5,1
6,1
7,4
8,not exist
9,1
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2,2
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9,not exist
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19,19
20,3
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23,5
24,3
25,not exist
26,7
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29,5
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31,7
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19,1
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28,1
29,1
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