Connected Primes #2
 

In the spirit of an earlier puzzle:

Call a trio {a,b,c} of odd primes singly-averageable
if all three of {a',b',c'} are prime,
where a' = (b+c)/2, b' = (a+c)/2, c' = (b+c)/2.

For example, {3,7,19} are singly-averageable,
because {5,11,13} are prime.

Call the trio doubly-averageable if {a',b',c'} are singly-averageable,
and triply-averageable if {a',b',c'} are doubly-averageable.

The puzzle is: find a triply-averageable trio {a,b,c} of primes.

(I present this as an open question because I haven't yet.)

[QUOTE=davar55;138683]Call a trio {a,b,c} of odd primes singly-averageable
if all three of {a',b',c'} are prime,
where a' = (b+c)/2, b' = (a+c)/2, c' = (b+c)/2.[/QUOTE]

I think that you meant:
where a' = ([COLOR="Red"]a+b[/COLOR])/2, b' = (a+c)/2, c' = (b+c)/2

Great puzzle. I think that a nice prog. could find this. (I personally don't have the time to write one though.)

Did you also mean the triples are equiv to {a'[sup]'[/sup],b'[sup]'[/sup],c'[sup]'[/sup]} being primes?

Or, to maintain symmetry

a'=(b+c)/2; b'=(a+c)/2; c'=(a+b)/2

The first few doubly using UncWilly's correction:

[SPOILER]5 53 173 ==> 29 89 113 ==> 59 71 101 ?
7 31 727 ==> 19 367 379 ==> 193 199 373 ?
7 127 151 ==> 67 79 139 ==> 73 103 109 ?
7 751 967 ==> 379 487 859 ==> 433 619 673 ? [/SPOILER]

Rereading the problem definition, any trio with a=b=c should do. :big grin:

Assuming the problem will be restated, I'm off to find a less trivial solution. :cool:

The first few triples under 10,000 using UncWilly's correction:

[QUOTE=petrw1;138687]
[SPOILER]
13 733 3373 ==> 373 1693 2053 ==> 1033 1213 1873 ==> 1123 1453 1543

19 67 8419 ==> 43 4219 4243 ==> 2131 2143 4231 ==> 2137 3181 3187

19 5059 8467 ==> 2539 4243 6763 ==> 3391 4651 5503 ==> 4021 4447 5077 [/SPOILER][/QUOTE]

For a<b<c<10,000:

[SPOILER]At then end of 10,000 there are 5244 doubles and the following 95 triples :-)
13 733 3373 : 373 1693 2053 : 1033 1213 1873 : 1123 1453 1543
19 67 8419 : 43 4219 4243 : 2131 2143 4231 : 2137 3181 3187
19 5059 8467 : 2539 4243 6763 : 3391 4651 5503 : 4021 4447 5077
73 313 1993 : 193 1033 1153 : 613 673 1093 : 643 853 883
79 127 9199 : 103 4639 4663 : 2371 2383 4651 : 2377 3511 3517
89 1049 4217 : 569 2153 2633 : 1361 1601 2393 : 1481 1877 1997
97 4177 6961 : 2137 3529 5569 : 2833 3853 4549 : 3343 3691 4201
107 251 2267 : 179 1187 1259 : 683 719 1223 : 701 953 971
127 6991 8527 : 3559 4327 7759 : 3943 5659 6043 : 4801 4993 5851
149 5333 8693 : 2741 4421 7013 : 3581 4877 5717 : 4229 4649 5297
163 8803 9283 : 4483 4723 9043 : 4603 6763 6883 : 5683 5743 6823
179 659 6899 : 419 3539 3779 : 1979 2099 3659 : 2039 2819 2879
181 661 4933 : 421 2557 2797 : 1489 1609 2677 : 1549 2083 2143
181 2293 3301 : 1237 1741 2797 : 1489 2017 2269 : 1753 1879 2143
191 1583 2111 : 887 1151 1847 : 1019 1367 1499 : 1193 1259 1433
193 673 3313 : 433 1753 1993 : 1093 1213 1873 : 1153 1483 1543
193 1009 5233 : 601 2713 3121 : 1657 1861 2917 : 1759 2287 2389
241 577 2017 : 409 1129 1297 : 769 853 1213 : 811 991 1033
257 977 1601 : 617 929 1289 : 773 953 1109 : 863 941 1031
263 2039 5783 : 1151 3023 3911 : 2087 2531 3467 : 2309 2777 2999
277 421 6997 : 349 3637 3709 : 1993 2029 3673 : 2011 2833 2851
283 7723 9739 : 4003 5011 8731 : 4507 6367 6871 : 5437 5689 6619
307 691 5827 : 499 3067 3259 : 1783 1879 3163 : 1831 2473 2521
311 1511 2903 : 911 1607 2207 : 1259 1559 1907 : 1409 1583 1733
359 1607 3719 : 983 2039 2663 : 1511 1823 2351 : 1667 1931 2087
359 8999 9479 : 4679 4919 9239 : 4799 6959 7079 : 5879 5939 7019
379 1723 2683 : 1051 1531 2203 : 1291 1627 1867 : 1459 1579 1747
389 1733 7253 : 1061 3821 4493 : 2441 2777 4157 : 2609 3299 3467
409 5689 7369 : 3049 3889 6529 : 3469 4789 5209 : 4129 4339 4999
433 3121 8161 : 1777 4297 5641 : 3037 3709 4969 : 3373 4003 4339
433 4801 6481 : 2617 3457 5641 : 3037 4129 4549 : 3583 3793 4339
547 3187 8467 : 1867 4507 5827 : 3187 3847 5167 : 3517 4177 4507
599 5399 8807 : 2999 4703 7103 : 3851 5051 5903 : 4451 4877 5477
619 6379 9739 : 3499 5179 8059 : 4339 5779 6619 : 5059 5479 6199
659 2579 5939 : 1619 3299 4259 : 2459 2939 3779 : 2699 3119 3359
661 2437 2677 : 1549 1669 2557 : 1609 2053 2113 : 1831 1861 2083
683 3323 8699 : 2003 4691 6011 : 3347 4007 5351 : 3677 4349 4679
683 3803 7499 : 2243 4091 5651 : 3167 3947 4871 : 3557 4019 4409
719 5519 8447 : 3119 4583 6983 : 3851 5051 5783 : 4451 4817 5417
727 5431 6967 : 3079 3847 6199 : 3463 4639 5023 : 4051 4243 4831
787 2467 9187 : 1627 4987 5827 : 3307 3727 5407 : 3517 4357 4567
883 6211 9811 : 3547 5347 8011 : 4447 5779 6679 : 5113 5563 6229
911 4271 6911 : 2591 3911 5591 : 3251 4091 4751 : 3671 4001 4421
971 2267 7307 : 1619 4139 4787 : 2879 3203 4463 : 3041 3671 3833
977 2417 4817 : 1697 2897 3617 : 2297 2657 3257 : 2477 2777 2957
1279 2239 5407 : 1759 3343 3823 : 2551 2791 3583 : 2671 3067 3187
1279 2719 9679 : 1999 5479 6199 : 3739 4099 5839 : 3919 4789 4969
1427 5507 8147 : 3467 4787 6827 : 4127 5147 5807 : 4637 4967 5477
1427 6131 8867 : 3779 5147 7499 : 4463 5639 6323 : 5051 5393 5981
1439 7487 9839 : 4463 5639 8663 : 5051 6563 7151 : 5807 6101 6857
1487 6047 9791 : 3767 5639 7919 : 4703 5843 6779 : 5273 5741 6311
1553 1889 6113 : 1721 3833 4001 : 2777 2861 3917 : 2819 3347 3389
1567 3967 6271 : 2767 3919 5119 : 3343 3943 4519 : 3643 3931 4231
1567 6367 9391 : 3967 5479 7879 : 4723 5923 6679 : 5323 5701 6301
1583 3119 7583 : 2351 4583 5351 : 3467 3851 4967 : 3659 4217 4409
1637 5189 9029 : 3413 5333 7109 : 4373 5261 6221 : 4817 5297 5741
1663 4111 5791 : 2887 3727 4951 : 3307 3919 4339 : 3613 3823 4129
1811 8291 9203 : 5051 5507 8747 : 5279 6899 7127 : 6089 6203 7013
1861 2677 7717 : 2269 4789 5197 : 3529 3733 4993 : 3631 4261 4363
1907 5171 8867 : 3539 5387 7019 : 4463 5279 6203 : 4871 5333 5741
2099 2819 3779 : 2459 2939 3299 : 2699 2879 3119 : 2789 2909 2999
2113 3121 6481 : 2617 4297 4801 : 3457 3709 4549 : 3583 4003 4129
2129 2753 6833 : 2441 4481 4793 : 3461 3617 4637 : 3539 4049 4127
2131 3331 4483 : 2731 3307 3907 : 3019 3319 3607 : 3169 3313 3463
2143 5791 8191 : 3967 5167 6991 : 4567 5479 6079 : 5023 5323 5779
2267 5051 8747 : 3659 5507 6899 : 4583 5279 6203 : 4931 5393 5741
2309 9173 9413 : 5741 5861 9293 : 5801 7517 7577 : 6659 6689 7547
2351 7247 7727 : 4799 5039 7487 : 4919 6143 6263 : 5531 5591 6203
2459 2699 5147 : 2579 3803 3923 : 3191 3251 3863 : 3221 3527 3557
2521 2713 8761 : 2617 5641 5737 : 4129 4177 5689 : 4153 4909 4933
2539 3067 8779 : 2803 5659 5923 : 4231 4363 5791 : 4297 5011 5077
2549 8933 9413 : 5741 5981 9173 : 5861 7457 7577 : 6659 6719 7517
2621 2957 9437 : 2789 6029 6197 : 4409 4493 6113 : 4451 5261 5303
2671 2767 5167 : 2719 3919 3967 : 3319 3343 3943 : 3331 3631 3643
2851 4243 6451 : 3547 4651 5347 : 4099 4447 4999 : 4273 4549 4723
2861 4973 8861 : 3917 5861 6917 : 4889 5417 6389 : 5153 5639 5903
2887 6151 8167 : 4519 5527 7159 : 5023 5839 6343 : 5431 5683 6091
3119 4703 7823 : 3911 5471 6263 : 4691 5087 5867 : 4889 5279 5477
3119 5039 7487 : 4079 5303 6263 : 4691 5171 5783 : 4931 5237 5477
3343 4591 9391 : 3967 6367 6991 : 5167 5479 6679 : 5323 5923 6079
3389 4013 8093 : 3701 5741 6053 : 4721 4877 5897 : 4799 5309 5387
4007 4919 5879 : 4463 4943 5399 : 4703 4931 5171 : 4817 4937 5051
4349 6269 8429 : 5309 6389 7349 : 5849 6329 6869 : 6089 6359 6599
4643 4931 9011 : 4787 6827 6971 : 5807 5879 6899 : 5843 6353 6389
4657 5281 9697 : 4969 7177 7489 : 6073 6229 7333 : 6151 6703 6781
4679 7607 9239 : 6143 6959 8423 : 6551 7283 7691 : 6917 7121 7487
4691 8291 8963 : 6491 6827 8627 : 6659 7559 7727 : 7109 7193 7643
4903 5431 6151 : 5167 5527 5791 : 5347 5479 5659 : 5413 5503 5569
5077 6661 7477 : 5869 6277 7069 : 6073 6469 6673 : 6271 6373 6571
5113 6361 9001 : 5737 7057 7681 : 6397 6709 7369 : 6553 6883 7039
5171 8147 8627 : 6659 6899 8387 : 6779 7523 7643 : 7151 7211 7583
5413 7333 9829 : 6373 7621 8581 : 6997 7477 8101 : 7237 7549 7789
5507 8147 8291 : 6827 6899 8219 : 6863 7523 7559 : 7193 7211 7541
6269 7949 9437 : 7109 7853 8693 : 7481 7901 8273 : 7691 7877 8087
6961 7873 8161 : 7417 7561 8017 : 7489 7717 7789 : 7603 7639 7753
=================================================================[/SPOILER]

Great results petrw1, and so quickly!
Thanks Uncwilly and Wacky for spotting and correcting my typo.
I didn't know there would be so many small solutions, or I would
have asked also for a quadruply or even quintuply averageable trio.

Just for reference, from petrw1's results, it appears that the trio
with smallest maximum value is {257,977,1601}.

[QUOTE=davar55;138727]I didn't know there would be so many small solutions, or I would have asked also for a quadruply or even quintuply averageable trio.[/QUOTE]

I just may try the next step

[QUOTE=petrw1;138752]I just may try the next step[/QUOTE]
How about an {a, b, c, d} combo?

[QUOTE=Uncwilly;138755]How about an {a, b, c, d} combo?[/QUOTE]

Would you propose something like?

a'=(a+b)/2
b'=(b+c)/2
c'=(c+d)/2
d'=(d+a)/2